絶対値の問題ってどうすればいいの？
絶対値。
恐らく高1が最初にぶつかるであろう壁。
|2|=2, |-2|=2
となるので、
｜x｜=x(x≧0),-x(x<0)
となる。
教科書的なやつでよく見るやつです。
そして、思うのです。
・・・結局、これどうしたらいいの？
まず、大事なのは
|2|=2
|-2|=-(-2)=2
となるのが絶対値であると決められているということを理解することが大事です。
なんで、こうなるの？
誰かが決めたから。そして、それを多くの人が認めて支持したから。
覚え方としては| |の中が０より大きいときはそのままでいいけど、
０より小さいときはマイナスをつけて０より大きくする。
|x|の場合は、ｘって０より大きいか分からないんだけど？ってなるので、
ｘが０より大きいときはｘ、０より小さいときは‐xとなると分けて考える必要がある。
これを式で表すと|x|＝x(x＞0),－x(x＜0)となる。
でも、↑のやり方だとx＝0ってやってなくない？
ってことは、|x|＝x(x＞0),0(x＝0),－x(x＜0)ってなるのが正しいんじゃ・・・。
でも、多くの教科書やテキストは３つに分けて考えるのが面倒なので、
|x|＝x(x≧0),‐x(x＜0)って形にしてx＝0とx＞0をまとめて表すことが多い。
まとめると絶対値の問題のときは、
① | |の中が文字の時は０以上のときと0より小さいときに分ける。
② 0以上の時はそのまま出していいけど、０より小さいときはマイナスとつけて出す。
となる。
では実際の問題を見てみましょう。
Q. |2x－1|の場合分けをしなさい。
A.
上の部分で学んだのは、まずは2x－1≧0と2x－1＜0にわける必要がある。
2x－1≧0のときは|2x－1|＝2x－1
2x－1＜0のときは|2x－1|＝－(2x－1)
となるはず。ただですね、さっきと違うのはまだ変形できるんですね。
なので、
2x－1≧0
2x≧1
x≧1/2となる。
同様に
2x-1<0
2x<1
x<1/2となる。
また、|2x-1|=-(2x-1)=-2x+1となるので
最終的な答えは
|2x-1|=2x-1(x≧1/2),-2x+1(x<1/2)
となる。
もう一問。
Q. |2x-1|=5を解け。
・・・え、なんか違うやん、ってなってることでしょう。
ただここら辺はまとめて聞かれたり、一緒やろみたいなことを言われます。
大事なのは、これとさっきやった問題の違いを理解することです。
A.
|2x-1|=2x-1(x≧1/2),-2x+1(x<1/2)は変わりません。
この場合分けが方程式になったからと言って変わることはないです。
ということは、
x≧1/2のとき
2x-1=5
2x=6
x=3
このとき、x=3なので1/2以上となるのでそのまま答えとしていいとなります。
x<1/2のとき
-2x+1=5
-2x=4
x=-2
これもx=-2なので、1/2より小さいので答えとして大丈夫です。
なので、答えはx=3,-2となります。
ただ、これを毎回書いてくれるテキストはほぼ存在してません。
では、テキスト類はどう書くかというと
|2x-1|=5
±(2x-1)=5
プラスの時とマイナスの時と分けるのが面倒なのでまとめてしまうわけです。
あとは上の表し方よりも2x-1=±5という形で表すことが多いですかね。
2x-1=±5=5,-5ということですので
2x-1=5,-5
2x=6,-4
x=3,-2
と計算できます。
こんな感じで計算していくのが絶対値です。
どんなに複雑な式になろうがこの場合分けの考え方は変化しないので
覚えておくと便利です。
こんな感じで授業をしてます。
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青山塾
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