確立と場合の数

 確率が分からないと言ってくる生徒は多い。

教科書ぐらいのレベルは解けるけど、それが入試レベルになるとまったく解けなくなる。


理由は色々あると思うんですよね。

確率じゃなくて場合の数がそもそも分かってない。

どの公式を使うかを考える癖がついていて問題文を読む癖がついてない。

ｎとかｋが出てくるときの考え方が分からない。

などなど・・・


実際の授業だと一個一個考えられる可能性を確認していきます。

別に特殊な作業とかはしない。

問題が解けないという結果が出たということはその原因があるはずなので、

なにがその原因になったのかを確認し、その原因を解決していく。

論理的思考を身につけるってそういうことなのでは？


さて、今回は原因として最も多い場合の数がそもそも分かってないってどういうことなのかを考えていきましょう。

Q1.ABCDEと書かれた５枚のカードから3枚を選んで並べるときの並べ方は何通りあるか？

Q2.ABCDEと書かれた５枚のカードから3枚を選ぶ時の選び方は何通りあるか？

このタイプの問題を解くときによくテキストや教科書で書かれる答えとして多いのは、

Q1は並べ方なのでPの公式を使います。
５P3＝5×４×３＝60通り

Q2は選び方なのでCの公式を使います。
５C3＝（5×４×３）÷（3×２×１）＝10通り

とだけ書かれているパターンですかね。

ここで大事なのはなんで選ぶときは3×２×１で割るのか？

それはPは選んで並べるがCは選ぶだけで並べ方は考えなくていいから。

選んで並べるというQ1の考え方では、1枚目の選び方はABCDEの5枚の中から1枚を選ぶので5通り、2枚目は一枚減って4枚の中から1枚を選ぶので4通り、3枚目はさらに一枚減って3枚の中から1枚を選ぶので3通りとなるので、5×4×3＝60通り

次にQ2の考え方です。例えば3枚選んできたときAとBとCを選んだとしましょう。その並べ方は以下のようになります。

ABC　ACB　BAC　BCA　CAB　CBA

Q1はこれら6パターンはすべて異なるパターンだと考えています。ところがQ2は選んだ順番は違うが結局、AとBとCを選んだんだからこれら６パターンは同じ１パターンだと考えられます。

つまり、３つの文字を選ぶ際は並べ方を考えたときと異なり、6パターンの並べ方は考えなくていいということになります。

この並べ方を考えなくていいパターンがある時の対処法が公式にもあるように、その並べ方で割るという手法だと考えられます。

本当にそうなのと思われる方は樹形図を書いて考えるとより分かりやすくなると思います。


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